Goldener Schnitt und Euleresche Zahl

 

Euklid (325-270 vor Christus) wird die Entdeckung des Streckenverhältnis Goldenen Schnittes zugeschrieben. Unter Goldenem Schnitt versteht man solche Teilung eines Ganzen a zu zwei Teilen, sodass das Verhältnis des Ganzen zum großen Teil b dasselbe wie des großen Teil b zum kleinen Teil c ist. Auf diese Weise haben wir folgende quadratische Gleichung:

a/b = b/c    =>    ac = b2    =>    b2 - bc - c2 = 0.

Standarte Lösung:

b1,2 = c/2 [(c/2)2 + c2]1/2.

Ziehen wir in Betracht nur positive Lösung:

b = c(1 + 51/2)/2.

Daraus bekommen wir die Zahl für Goldenen Schnitt:

Phi = 1.618...

Es gibt auch andere geometrische Methoden, die die gesuchte Teilung zu bekommen erlauben, aber diese Methode ist eigentlich unwichtig für unsere Untersuchung, deshalb ich erwähne kurz nur eine: Zieht im einen regelmäßigen Fünfeck (Pentagon) alle Diagonale durch, schneiden sie sich im Goldenen Schnitt, dabei entsteht ein Fünfstern (Pentagramm).

Uns wird sogennante Fibonacci-Reihe sehr interessieren. Die wurde nach seinem Erfinder Leonardo Fibonacci (1170-1240) genannt. Jedes Glied dieser Reihe entsteht durch das Addieren von zwei vorangegangenen Gliedern:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610...

oder in üblicher mathematischen Schreibweise:

an = an-1 + an-2, a1 = 0, a2 = 1.

Besonders an dieser Reihe ist es, dass deren Quotientenfolge gegen die Zahl Goldenen Schnittes konvergiert:

lim(an/an-1) => 1.618..., n -> oo.

In Wirklichkeit gibt es eigentlich mehr zu bewundern: Die erste zwei Glieder der Fibonacci-Reihe können eigentlich beliebige Zahlen sein, trotzdem deren Quotientenfolge gegen die Zahl Goldenen Schnittes wieder konvergieren wird.

Beispiel. Nehmen wir erste beste Zahlen a1 = 11.4, a2 = -24.9 und rechnen weitere Zahlen:

11.4, -24.9, -13.5, -38.4, -51.9, -90.3, -142.2, -232.5, -374.7...,

dann finden z.B. für drei letzte Zahlen die Quotienten:

-374.7/-232.5 = 1.611..., -232.5/-142.2 = 1.635...

Also, sie liegen wiederum dem Goldenen Schnitt nah. Man kann sich der "Hartnäckigkeit" der Fibonacci-Reihe nur wundern. Es müsste doch ein Gesetz geben, das dieses Verhalten erklärt.

Ja, schon verdächtig ist es, dass deren Quotientenfolge zum Goldenen Schnitt konvergiert. Aber dieser hat eher eine mystische Bedeutung. Er gilt als ästhetisch ideale Proportion, "Göttliche Teilung", als allgemeines Naturgesetz. Menschlicher Körper dürfte in den Proportionen des Goldenen Schnittes gebaut werden. Auch niedrigere Lebensformen und sogar Pflanzen oft erweisen gleiche Proportionen... Und all das wird keinesfalls durch reale physikalische Gesetze belegt! Mystisch? Nun hoffe ich, dass es in wenigen Minuten nicht mehr ;-)

Hellhörig machte mich der Fakt, dass dieses Verhältnis bei den Lebensformen und vor allem bei der "Krönung der Schöpfung" zu beobachten ist. Es dürfte also mit dem biologischen Wachstum zu tun zu haben. Anderseits versteht man unter Teilung gerade einen Zerfallprozess. Und in der Mathematik gibt es eine Zahl, mit deren Hilfe diese zwei gegenteilige Erscheinungen erfolgreich beschrieben werden, und zwar die Euleresche Zahl:

e = 2.718...

Die Zahl trägt den Namen seines Erfinders Leonhard Euler (1707-1783). Es gibt mehrere Formeln, die diese Zahl zu bestimmen erlauben. Die zwei bekannteste sind:

e = lim(1 + 1/n)n, n -> oo,

e = Sum(1/n!), n = 0...oo.

Obwohl weder diese noch die andere Darstellungen Eulerscher Zahl eine Ähnlichkeit mit der Quotientenfolge der Fibonacci-Reihe haben, ist das unwichtig, da sich die Verwandtschaft zwischen Goldenen Schnitt und Eulereschen Zahl eben auf einer anderen Ebene erweist (es gibt zwar eine direkte mathematische Verbindung über hyprbolische Funktionen, aber in dieser Arbeit möchte ich eher physikalische Hintergründe suchen).

Für die Beschreibung der Wachstums- bzw. Zerfallprozesse dient die expotentielle Funktion:

f(x) = f0ex.

Zwar wird dadurch der Mechanismus beschrieben, bei dem eine Menge proportional zu ihrer Größe wächst bzw. sich verringert. Genau derselbe Mechanismus ist in "Göttliche Teilung" zu erkennen. In der Antike dachten Menschen nur an Verhältnis des Ganzen zum größerem Teil, Verhältnis des Ganzen zum kleineren Teil interessierte sie offensichtlich nicht. Doch gerade dieses Verhältnis zeigt, um wie viel sich das Ganze verringert hat. Und wie man schon erwarten könnte, entspricht diese Zahl der Eulereschen Zahl:

a/b = b/c    =>    ac = b2    =>    a/c = b2/c2 = Phi2 = 2.618...

Diese Zahl ist nur um 3.7% kleiner als Euleresche Zahl. Physikalisch gesehen, ist diese Abweichung eher vernachlässig. Alle reale Prozesse laufen nie genau nach "verschriebenen" Formeln. Die Genauigkeit von 5-10% kann man schon als ziemlich gute bezeichnen. Auch, wenn Goldener Schnitt als Naturgesetz verstanden werden soll, liefern die Messergebnisse etwa eigenes Körpers die Werte zwischen 1.45 und 1.77, d.h. ungefähr 10%.

Auf diese Weise kann man behaupten, dass der Goldene Schnitt die erste Definition der Eulereschen Zahl war, allerdings nicht als genauer, mathematischer Zahl, sondern als Naturkonstante, die tatsächlich in vielen Naturgesetzen vorhandert ist. Und sogar noch mehr kommt zur Schein: Fibonacci-Reihe ist eine Reihendarstellung der Expotentfunktion.

Jedes nächstes Glied der Folge ist die Summe zwei vorheriger Glieder:

an = an-1 + an-2.

Zur Zahl an-1 wird den Zusatz an-2 zugefügt. Aber dieser Zusatz an-2 ist bereits ein Teil von an-1:

an-1 = an-2 + an-3.

Es handelt sich wiederum um denselben Mechanismus, der die expotentielle Funktion beschreibt. Somit ist in Fibonacci-Reihe folgende Funktion verborgen:

f(n) = f0e n/2.

Das erklärt die "Hartnäckigkeit" der Fibonacci-Reihe: Die Quotienten o.g. Funktion ergeben schlicht die Wurzel aus Eulerescher Zahl. Ich möchte hier noch die Vergleichstabelle vorstellen, damit die Ähnlichkeit offensichtlicher wird.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
en/2 1 1.65 2.72 4.48 7.39 12.18 20.1 33.1 54.6 90 148 244 403 665 1096 1808
F.-Reihe ...1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597

Zwar wächst expotentielle Funktion schneller, aber darum ist Eulersche Zahl auch um 3.7% größer als Quadrat vom Goldenen Schnitt. Allerdings kann man beim Bedarf zum jeden Bereich eine Anpassung mittels f0 vornehmen.

Eine weitere Bestätigung der Idee liefern die Spiralstrukturen in der Natur, von Schneckenhäusern bis zu den Spiralgalaxien. Zeichnet man eine Linie aus dem Zentrum der Spirale nach außen, wird diese durch die Spiralstrahlen in Verhältnissen, die dem Goldenen Schnitt nah liegen, geschnitten. Anderseits kann eine Spiralstruktur mittels der Formel logarithmischen Spirale beschrieben werden(a - Winkel):

r = r0eka

Setzen wir k = 1/4pi, bekommen wir die Spirale, die die gleiche Eigenschaft hat.

Zusammenfassung

Man merkte, dass sich Goldener Schnitt in der Natur oft wiederspiegelt. Da es dafür nie eine Erklärung gab, bekam diese Zahl ihre Mystische Seite... Jetzt können wir aber behaupten, dass das Verfahren, mit dem die Teilung durchgeführt wird, genau dem Mechanismus der Wachstums- bzw. Zerfallprozesse in der Natur entspricht. In moderner Wissenschaft werden diese Prozesse mit Hilfe von Eulerescher Zahl beschrieben. Dabei handelt es sich nicht nur um die biologische Prozesse, sondern fängt es schon auf der Atomebene an und geht bis zu gesellschaftlichen Phänomenen: Kernspaltung, Tunneleffekt, Resonanz mit der Dämpfung, Entladung eines Kondensators, explosionsartige chemische Prozesse, Wachstum von Bakterienpopulationen sowie der Populationen der Tiere bzw. gesamtem Menschheit, Finanzwesen, Statistik usw. Es ist recht zu vermuten, dass die Weise des Wachstumsprozesses prägt auch das Endprodukt und dessen Größe, Form und Proportionen. Und dieses Endprodukt ist gerade das, was man mit bloßen Augen sieht. So erkanten schon die Menschen der Antike eine Proportion, die ihre Wurzeln noch in der Quantenwelt hat, den Goldenen Schnitt:

Phi = ~e1/2.

 

Juni - August 2004
Walter Orlov